Phương trình thuần nhất bậc n đối với sin x và cos x

Trong chương trình môn Toán lớp 11 ta được học phương trình dạng $$a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=0\qquad (1)$$
Phương trình $(1)$ có tên gọi là "phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$". Ở đây tên gọi "thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$" là vì mỗi số hạng ở vế trái của $(1)$ đều có bậc hai: $\sin^2x, \cos^2x$, số hạng có chứa $\sin x\cos x$ cũng được xem là bậc hai vì $\sin x\cos x=\sin^1x\cos^1x$ và $1+1=2$.

Cách giải phương trình $(1)$.

Bước 1. Thay giá trị $\cos x=0$ (hoặc $\sin x=0$) vào phương trình $(1)$. Nếu giá trị đó thỏa mãn phương trình $(1)$ thì khẳng định phương trình có họ nghiệm $x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (hoặc $x=k\pi, k\in\mathbb{Z}$).

Bước 2. Với $\cos x\neq 0$ (hoặc $\sin x\neq 0$), chia 2 vế phương trình $(1)$ cho $\cos x$ (hoặc $\sin x$) ta thu được phương trình bậc hai đối với hàm số $\tan x$ (hoặc $\cot x$). Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác này ta sẽ tìm được nghiệm $x$.

Bước 3. Tổng hợp nghiệm ở Bước 1 và Bước 2 rồi kết luận nghiệm của phương trình.

Từ sự giải thích tên gọi "phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$" ở trên, ta khái quát lên thành phương trình thuần nhất bậc $n$ đối với $\sin x$ và $\cos x$. Đó là phương trình mà có một vế bằng $0$ và mỗi số hạng ở vế còn lại có tổng số mũ của $\sin x$ và $\cos x$ bằng $n$. Ví dụ như
$$\sin^3x+2\sin^2 x\cos x +3\sin x\cos^2 x -6\cos^3x=0\qquad (2)$$

$$\sin^4x+2\sin x\cos^3x -3\sin^2x\cos^2x=0\qquad (3)$$
Phương trình $(2), (3)$ lần lượt có tên gọi là phương trình thuần nhất bậc $3$, bậc $4$ đối với $\sin x$ và $\cos x$.

Cách giải phương trình thuần nhất bậc $n$ đối với $\sin x$ và $\cos x$ hoàn toàn tương tự như cách giải phương trình $(1)$.

Chú ý. Từ hằng đẳng thức lượng giác $\sin^2x+\cos^2x=1$ mà phương trình $$a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d$$ có thể biến đổi về dạng phương trình $(1)$ như sau
\begin{array}{l l}
&a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d\\
\Leftrightarrow & a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d(\sin^2x+\cos^2x)\\
\Leftrightarrow & (a-d).\sin^2x+b.\sin x\cos x +(c-d).\cos^2x=0
\end{array}
Bài tập. Giải các phương trình dưới đây

$1)\quad \sin^2x-3\sin x\cos x+1=0,$
$2)\quad \sin^2x+2\sin x\cos x +3\cos^2x-3=0,$
$3)\quad \sqrt{3}\sin x+\cos x=\dfrac{1}{\cos x},$
$4)\quad 2\sin^3x-5\sin^2x\cos x+4\sin x\cos^2x-\cos^3x=0,$
$5)\quad 2\sin^3x+4\sin^2x\cos x +\cos x-4\sin x=0,$
$6)\quad 4\sin^3x + 3\cos^3x-3\sin x-\sin^2x\cos x=0,$
$7)\quad \cos^3x -4\sin^3x-3\cos x\sin^2x+\sin x=0,$
$8)\quad 2\cos^3x=\sin 3x,$
$9)\quad \sin x\sin 2x +\sin 3x=6\cos^3x,$
$10)\quad \sqrt{2}\sin^3\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin x.$

Phương trình lượng giác có điều kiện

1. Giới thiệu

Đối với các phương trình lượng giác có điều kiện, việc đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện xác định của phương trình có lẽ gây cho chúng ta nhiều khó khăn, nhầm lẫn. Vậy có cách nào để giúp ta giảm thiểu sai sót khi giải phương trình lượng giác có điều kiện? Thật đơn giản, chỉ cần ta biết cách biểu diễn góc (cung) trên đường tròn lượng giác thì ta sẽ có hình ảnh trực quan về các điểm biểu diễn cho điều kiện và các điểm biểu diễn cho nghiệm. Từ đó ta dễ dàng chọn được nghiệm đúng của phương trình.

 2. Biểu diễn góc (cung) trên đường tròn lượng giác

 Điểm M biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha +k2\pi$. Ngược lại góc lượng giác $x=\alpha +k2\pi$ sẽ được biểu diễn chỉ bởi 1 điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho cung AM có số đo bằng $\alpha$.

Hai điểm $M_1, M_2$ chia đường tròn lượng giác thành 2 phần bằng nhau. Khi đó 2 điểm $M_1, M_2$ biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha +k\pi$. Ngược lại góc lượng giác $x=\alpha +k\pi$ sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm cách đều nhau trên đường tròn lượng giác và cung AM có số đo bằng $\alpha$.

Ba điểm $M_1, M_2,M_3$ chia đường tròn lượng giác thành 3 phần bằng nhau. Khi đó 3 điểm $M_1, M_2, M_3$ biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha +k\frac{2\pi}{3}$. Ngược lại góc lượng giác $x=\alpha +k\frac{2\pi}{3}$ sẽ được biểu diễn bởi 3 điểm cách đều nhau trên đường tròn lượng giác và cung AM có số đo bằng $\alpha$.




Tóm lại, nếu $n$ điểm $M_1, M_2, ..., M_n$ chia đường tròn lượng giác thành $n$ phần bằng nhau và cung AM có số đo bằng $\alpha$ thì khi đó $n$ điểm $M_1, M_2, ..., M_n$ sẽ biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha+k\frac{2\pi}{n}$.

3. Ứng dụng

Ví dụ. Giải phương trình$$\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}=\sqrt{3}.\qquad\qquad (1)$$

Lời giải
Điều kiện $\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x\neq 0\Leftrightarrow \begin{cases}x\neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\ x\neq \frac{2\pi}{3}+k2\pi\qquad, k\in\mathbb{Z}.\\ x\neq -\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{cases}$

Khi đó phương trình $(1)$ tương đương với
$$ \tan 2x =\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}. $$
+ Biểu diễn điều kiện trên đường tròn lượng giác bởi các điểm đánh dấu chéo.

Góc $\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$ được biểu diễn bởi 4 điểm $N_1, N_2, N_3, N_4.$

Góc $\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi$ được biểu diễn bởi 1 điểm $N_5.$

Góc $\displaystyle -\frac{2\pi}{3}+k2\pi$ được biểu diễn bởi 1 điểm $N_6.$

+ Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác bởi các điểm đánh dấu tròn.

Góc $\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}$ được biểu diễn bởi 4 điểm $M_1, M_2, M_3, M_4.$

Đối chiếu với điều kiện bằng hình vẽ, ta có nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi các điểm $M_1, M_3, M_4$.  Do $M_1, M_3$ chia đường tròn thành hai phần bằng nhau nên 2 điểm này biểu diễn cho góc $ x=\frac{\pi}{6}+k\pi$. Còn lại, điểm $M_4$ biểu diễn cho góc $ x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi$. Vậy nghiệm của phương trình $(1)$ là $$x=\frac{\pi}{6}+k\pi; x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi \quad (k\in\mathbb{Z}).$$
Nếu không nhận thấy 2 điểm $M_1, M_3$ chia đường tròn thành hai phần bằng nhau  thì ta cũng có thể kết luận nghiệm của phương trình $(1)$  là $$ x=\frac{\pi}{6}+k2\pi; x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi; x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi \quad (k\in\mathbb{Z}).$$
  

Bài tập

Giải các phương trình sau

1) $\displaystyle 2\sin x+\cot x=2\sin 2x + 1,$

2) $\displaystyle \frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+\cot^2x}=\sqrt{2}\sin x\sin 2x,$    (Đề thi đại học khối A năm 2011)

3) $\displaystyle \frac{\sin 2x+2\cos x-\sin x-1}{\tan x+\sqrt{3}}=0,$   (Đề thi đại học khối D năm 2011)

4) $\displaystyle \frac{(1+\sin x+\cos 2x)\sin (x+\frac{\pi}{4})}{1+\tan x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x,$    (Đề thi đại học khối A năm 2010)

5) $\displaystyle \frac{(1-2\sin x)\cos x}{(1+2\sin x)(1-\sin x)}=\sqrt{3},$    (Đề thi đại học khối A năm 2009)

6) $\displaystyle \frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin (x-\frac{3\pi}{2})}=4\sin (\frac{7\pi}{4}-x), $     (Đề thi đại học khối A năm 2008)

7) $\displaystyle \frac{2(\cos^6x+\sin^6x)-\sin x\cos x}{\sqrt{2}-2\sin x}=0,$     (Đề thi đại học khối A năm 2006)

Tài liệu tham khảo:
1) Phan Tuấn Cộng (2010), "Kỹ thuật tìm nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện,"   Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục.

2) Đề thi đại học các năm qua.

Tải về bài viết: docs.google.com

Hướng tiếp cận phương trình lượng giác

Trong chương trình toán phổ thông, phương trình lượng giác là phần làm cho nhiều học sinh lúng túng bởi có quá nhiều công thức biến đổi. Để lựa chọn được công thức phù hợp cho mỗi bước biến đổi, học sinh cần phải nắm rõ các công thức đó và có một số định hướng cụ thể.

Ở lớp 11, học sinh được học và trang bị phương pháp giải 5 dạng phương trình thường gặp: phương trình lượng giác cơ bản; phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$; phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$; phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$. Cả 5 dạng này có điểm đặc trưng là: có cùng một loại góc, chứa tối đa 2 hàm số lượng giác, bậc cao nhất là 2.

Các kỳ thi quan trọng như đại học, cao đẳng sẽ phân loại và tuyển chọn ra các sinh viên có kiến thức cơ bản và khả năng ứng biến linh hoạt cho các ngành nghề. Chính vì thế, 5 dạng phương trình thường gặp trên sẽ được biến đổi khác xa so với nguyên gốc ban đầu để thử thách các thí sinh. Thông thường người ta sẽ dùng các công thức liên hệ giữa các góc để làm cho phương trình có nhiều loại góc khác nhau, nhiều hàm số lượng giác, làm cho bậc của phương trình tăng lên. Bên cạnh đó, người ta cũng nhân các phương trình thường gặp (trong số 5 phương trình ở trên ) lại với nhau và sắp xếp thành một phương trình lạ lẫm. Vậy để tiếp cận với bài toán phương trình lượng giác, học sinh cần phải nắm vững các định hướng sau:

1.  Đưa về cùng một loại góc hoặc một nhóm các góc giống nhau.
2.  Đưa về cùng một hàm số lượng giác.
3.  Hạ bậc.
4.  Biến đổi về phương trình tích.

Một số công thức đặc biệt thường dùng khi biến đổi đưa về phương trình tích.

•  $\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x).$

•  $\cos^2x=(1-\sin x)(1+\sin x).$

•  $\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).$

•  $1+\sin 2x=(\sin x+\cos x)^2.$

•  $1-\sin 2x=(\sin x-\cos x)^2=(\cos x-\sin x)^2.$

Ví dụ 1. Giải phương trình $\cos 2x +5\sin x -4=0.$
Giải
Phương trình có 2 loại góc là $x$ và $2x$. Do đó, ta dùng công thức nhân đôi để đưa về cùng một loại góc $x$. Tuy nhiên $\cos 2x$ có đến 3 công thức biến đổi ($\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$), cho nên ta phải lưu ý lựa chọn công thức sao cho phù hợp với hàm số lượng giác còn lại trong phương trình. Với định hướng như vậy ta có lời giải sau
$$\begin{array}{l l}
&\cos 2x +5\sin x -4=0\\
\Leftrightarrow & 1-2\sin^2x+5\sin x-4=0\\
\Leftrightarrow & -2\sin^2x+5\sin x-3=0\\
\Leftrightarrow &\left [\begin{array}{l}
\sin x=1\\
\sin x=\frac{3}{2}\quad (\text{vô nghiệm})
\end{array}\right. \\
\Leftrightarrow & x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\quad (k\in\mathbb{Z}).\end{array}
$$
Ví dụ 2.Giải phương trình $\sin^2x +\sin^2 2x=\cos^2 3x+\cos^2 4x.$
Giải
Nhận thấy các số hạng có trong phương trình đều có bậc 2 nên trước tiên, ta sẽ dùng công thức hạ bậc. Khi đó ta thu được phương trình
$$\begin{array}{l l}
&\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}\\
\Leftrightarrow & \cos 6x +\cos 8x +\cos 2x +\cos 4x=0
\end{array}$$ Đến đây ta có được phương trình chỉ chứa hàm số cosin, tuy nhiên có đến 4 loại góc khác nhau là: $2x, 4x, 6x, 8x$. Việc biến đổi 4 loại góc này về cùng một loại góc rất khó khăn và làm bậc của phương trình tăng lên. Cho nên, ta nghĩ đến việc biến đổi về phương trình tích. Để ý giữa 4 loại góc trên có mối liên hệ $8x + 2x= 6x + 4x =10x$, do đó, ta sẽ nhóm các số hạng như sau
$$\begin{array}{l l}
&(\cos 8x +\cos 2x)+(\cos 6x +\cos 4x)=0\\
\Leftrightarrow & 2\cos 5x \cos 3x +2\cos 5x \cos x=0\\
\Leftrightarrow & 2\cos 5x (\cos 3x+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & 4\cos 5x\cos 2x\cos x=0\\
\Leftrightarrow & \left [\begin{array}{l}
\cos 5x=0\\
\cos 2x=0\\
\cos x=0
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left [\begin{array}{l}
5x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{\pi}{2}+k\pi
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left [\begin{array}{l}
x=\frac{\pi}{10}+k\frac{\pi}{5}\\
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
x=\frac{\pi}{2}+k\pi
\end{array}\right.
\end{array}$$
Ví dụ 3. Giải phương trình $2\sin^3 x+\cos 2x +\cos x=0.$
Giải
Phương trình có chứa số hạng bậc 3 và có 2 loại góc: $x, 2x$. Nếu ta hạ bậc 3 thì sẽ sinh ra thêm loại góc $3x$. Khi đó phương trình sẽ phức tạp hơn. Như vậy, ta dùng công thức nhân đôi để đưa về cùng một loại góc $x$ như dưới đây.
$$
2\sin^3 x+1-2\sin^2 x+\cos x=0
$$ Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là vì sao không dùng các công thức $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2 x-1$? Do phương trình có chứa $\sin^3 x$ nên ta sẽ lựa chọn công thức nào có chứa hàm số sin để gộp với $\sin^3 x$ thành một nhóm và hy vọng xuất hiện nhân tử chung để thuận lợi cho định hướng chuyển về phương trình tích sau này. Vậy sao không dùng $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$? Rõ ràng, với định hướng đưa về cùng một hàm số lượng giác thì $1-2\sin^2 x$ tốt hơn $\cos^2x-\sin^2 x$. Hơn nữa, $\sin^3x$ còn đi kèm với hệ số 2 nên chọn $1-2\sin^2 x$ là hợp lý nhất. Ta tiếp tục biến đổi phương trình thành
$$\begin{array}{l l}
&(2\sin^3x-2\sin^2x)+(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow&2\sin^2x(\sin x-1)+(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & 2(1+\cos x)(1-\cos x)(\sin x-1)+(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & (1+\cos x)\left[2(1-\cos x)(\sin x-1)+1\right]=0\\
\Leftrightarrow &(1+\cos x)\left[2(\sin x+\cos x)-2\sin x\cos x -1\right]=0\\
\Leftrightarrow &\left [\begin{array}{l}
1+\cos x=0\\
2(\sin x+\cos x)-2\sin x\cos x-1=0
\end{array}\right.
\end{array}$$ Đến đây, mỗi phương trình ta đều biết cách giải nên chắc chắn sẽ tìm được nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4. Giải phương trình $\cos^2 x+\sin^3 x+\cos x=0.$
Giải
Điểm thuận lợi của phương trình này là có cùng góc $x$. Chính vì thế ta không nên hạ bậc các số hạng $\cos^2x, \sin^3x$, nếu không các góc sẽ lệch nhau. Do đó ta còn 2 hướng suy nghĩ: đưa về cùng một hàm số lượng giác, đưa về phương trình tích. Nếu đưa về cùng một hàm số lượng giác thì chỉ có biến đổi sin thành cos (do các số hạng còn lại đều là hàm số cosin). Nhưng $\sin^3x$ chuyển lại thành cosin mà không làm thay đổi góc $x$ là không thể. Vậy hướng phân tích về phương trình tích là hợp lý nhất.

Nhìn vào phương trình, không khó để nhận ra $\cos^2x$ "bắt cặp" với $\cos x$. Như vậy ta có biến đổi như sau
$$\begin{array}{l l}
&\cos^2x+\sin^3x+\cos x=0\\
\Leftrightarrow & \cos x(\cos x+1)+\sin^3x=0\\
\Leftrightarrow &\cos x(\cos x+1)+\sin x\sin^2 x=0\\
\Leftrightarrow &\cos x(\cos x+1)+\sin x(1-\cos x)(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & (1+\cos x)\left[\cos x+\sin x(1-\cos x)\right]=0\\
\Leftrightarrow &(1+\cos x)\left(\cos x+\sin x-\sin x\cos x\right)=0\\
\Leftrightarrow & \left[\begin{array}{l}
1+\cos x=0\\
\cos x+\sin x-\sin x\cos x=0\\
\end{array}\right.
\end{array}$$ Việc giải mỗi phương trình thành phần là đơn giản.

Ví dụ 5. Giải phương trình $\sin x +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2(\cos 4x+\sin^3x)$ (Đề toán khối B 2009)
Giải.

Nhìn vào phương trình ta thấy có 4 loại góc: $x, 2x, 3x, 4x$. Việc biến đổi về cùng một loại góc là thực sự khó khăn (chỉ có thể biến đổi về góc chung $x$). Như vậy định hướng đưa về cùng một loại góc không khả thi đối với phương trình này. Tiếp đến, trong phương trình chỉ có mỗi số hạng $\sin^3x$ là bậc 3, số hạng này gây sự chú ý đặc biệt cho ta (vì thông thường, phương trình bậc càng cao sẽ càng khó giải hơn). Do đó ta phải "xử lý" số hạng có chứa $\sin^3x$. Nhìn vế trái của phương trình ta thấy có chứa $\sin x$ nên ta sẽ gộp $\sin^3 x$ với $\sin x$ và xem thử điều gì xảy ra tiếp theo.
$$\begin{array}{l l}
& \sin x +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2(\cos 4x+\sin^3x)\\
\Leftrightarrow & (\sin x -2\sin^3 x) +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x\\
\Leftrightarrow & \sin x(1 -2\sin^2 x) +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x\\
\Leftrightarrow & \sin x \cos 2x +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x
\end{array}$$ Đến đây, không khó để nhận ra $$\sin x \cos 2x +\cos x\sin 2x=\sin (x+2x)=\sin 3x.$$ Như thế phương trình trở thành
$$\sin 3x +\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x$$ Cuối cùng, bạn nào đã giải thành thạo phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$ thì sẽ tự động "bật" ra cách giải phương trình này thôi.
Bài tập.
Giải các phương trình sau

1) $2\sin x +\cos x=\sin 2x +1,$
2) $\cos 7x +\sin 8x = \cos 3x - \sin 2x,$
3) $9\sin x + 6\cos x -3\sin 2x + \cos 2x=8,$
4) $\displaystyle \cos^2 \left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\cos^2 \left(2x+\frac{\pi}{2}\right)+\cos^2 \left(3x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3}{2},$
5) $\cos^3 x-\sin^3x=\sin x-\cos x,$
6) $2\sin^2 2x +\sin 7x -1=\sin x,$
7) $\cos x+3\sin x=4\sin x\cos^2 x,$
8) $\cos 2x + 3\sin 2x +5\sin x-3\cos x=3$

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học vài năm qua

1) $\sqrt{3}\sin 2x +\cos 2x =2\cos x-1$ (Đề toán khối A 2012)
2) $2(\cos x+\sqrt{3}\sin x)\cos x=\cos x -\sqrt{3}\sin x +1$ (Đề toán khối B 2012)
3) $\sin 3x +\cos 3x -\sin x+ \cos x=\sqrt{2}\cos 2x$ (Đề toán khối D 2012)
4) $\displaystyle\frac{1+\sin 2x +\cos 2x}{1+\cot^2 x}=\sqrt{2}\sin x\sin 2x $ (Đề toán khối A 2011)

5) $\sin 2x\cos x+\sin x\cos x=\cos 2x+\sin x+\cos x$ (Đề toán khối B 2011)

6) $\displaystyle\frac{\sin 2x +2\cos x-\sin x - 1}{\tan x+\sqrt{3}}=0 $ (Đề toán khối D 2011)

7) $\displaystyle\frac{(1+\sin x +\cos 2x)\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{1+\tan x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x $ (Đề toán khối A 2010)

8) $(\sin 2x +\cos 2x)\cos x+2\cos 2x-\sin x=0$ (Đề toán khối B 2010)

9) $\displaystyle\sin 2x- \cos 2x+3\sin x -\cos x-1=0$ (Đề toán khối D 2010)

10) $\displaystyle\frac{(1-2\sin x)\cos x}{(1+2\sin x)(1-\sin x)}=\sqrt{3}$ (Đề toán khối A 2009)

Xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng

Có 2 phương pháp xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng.

 Phương pháp 1. Tìm 2 điểm chung phân biệt giữa hai mặt phẳng. Đường thẳng nối 2 điểm chung đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng. 
 Phương pháp 2. Tìm một điểm chung và phương của giao tuyến. (Để xác định phương của giao tuyến ta thường dựa vào quan hệ song song).

Giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song.

(Thông thường ta tìm mặt phẳng thứ ba chứa lần lượt 2 đường thẳng của 2 mặt phẳng cần xác định giao tuyến, nếu 2 đường thẳng này cắt nhau thì giao điểm chính là điểm chung của hai mặt phẳng, nếu 2 đường thẳng này song song sẽ cho ta phương của giao tuyến.)

Một số định lý thường dùng trong phương pháp 2.

Định lý. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc dồng quy hoặc đôi một song song.
Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).
Định lý. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) thì mọi mặt phẳng (β)chứa a mà cắt (α) thì cắt theo giao tuyến song song với a.
Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song. Xác định giao tuyến giữa các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC)?




Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?



Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD và E là một điểm trên cạnh SC. Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng (SAE) và (SBD)?

Bài tập

Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,Plần lượt là trung điểm của BC,CD,SO. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (SAB),(SAD),(SBC) và (SCD).

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AC và BC và K là một điểm trên cạnh BD sao cho KD<KB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với (ACD) và (ABD).  

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AD và BC. 
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (JAD). 
b) Gọi M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).

Bài 4. Cho tứ diện ABCD và M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD); (DMN) và (ABC).