Xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng

Có 2 phương pháp xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng.

 Phương pháp 1. Tìm 2 điểm chung phân biệt giữa hai mặt phẳng. Đường thẳng nối 2 điểm chung đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng. 
 Phương pháp 2. Tìm một điểm chung và phương của giao tuyến. (Để xác định phương của giao tuyến ta thường dựa vào quan hệ song song).

Giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song.

(Thông thường ta tìm mặt phẳng thứ ba chứa lần lượt 2 đường thẳng của 2 mặt phẳng cần xác định giao tuyến, nếu 2 đường thẳng này cắt nhau thì giao điểm chính là điểm chung của hai mặt phẳng, nếu 2 đường thẳng này song song sẽ cho ta phương của giao tuyến.)

Một số định lý thường dùng trong phương pháp 2.

Định lý. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc dồng quy hoặc đôi một song song.
Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).
Định lý. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) thì mọi mặt phẳng (β)chứa a mà cắt (α) thì cắt theo giao tuyến song song với a.
Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song. Xác định giao tuyến giữa các cặp mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC)?




Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)?



Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD và E là một điểm trên cạnh SC. Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng (SAE) và (SBD)?

Bài tập

Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,N,Plần lượt là trung điểm của BC,CD,SO. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (SAB),(SAD),(SBC) và (SCD).

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AC và BC và K là một điểm trên cạnh BD sao cho KD<KB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với (ACD) và (ABD).  

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AD và BC. 
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (JAD). 
b) Gọi M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).

Bài 4. Cho tứ diện ABCD và M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (AMN) và (BCD); (DMN) và (ABC).